H∞ Full State Feedback Control


Teknik kendali klasik yang biasa kita pelajari menganggap model plant sama persis dengan plant yang asli, tidak ada noise dan gangguan. Padahal kenyataannya banyak ketidakpastian dalam implementasi sistem kendali, contohnya parameter plant, noise, dan gangguan. Supaya sistem kita tetap berjalan memuaskan, kita harus membuatnya robust, alias kebal terhadap ketidakpastian ini. Salah satu metodenya adalah teknik kendali dengan metode H∞ (H-infinity)

Misalkan ada sistem dengan state space ini:

x adalah state sistem, u adalah control input sistem, y adalah output sistem, dan w adalah gangguan pada sistem. Untuk bisa memakai metode H∞, kita harus bentuk state spacenya supaya:

  • D’ C = 0
  • D’ D = I
  • input outputnya ternormalisasi ( |u| ≤ 1, |y| ≤ 1)

Objektif dari kontroller ini adalah meminimalisasi ∞-norm gain dari gangguan w ke output y ( ||Gyw||∞ ), atau setidaknya ||Gyw||∞ < α dengan α>0. Bingung? Ini cuma definisi formal kok, cara mendesain kontrollernya hanya begini:

Control law untuk mencapai objektif tersebut adalah:

u = –K x

K = Bu’P

dengan P adalah solusi persamaan Ricatti aljabar:

PA +A’ PP(BuBu’ – 1/α²BwBw’)P + C’ C = 0

Nilai α dipilih dengan coba-coba. Semakin kecil α semakin bagus rejeksi gangguan sistem karena ||Gyw||∞ jadi semakin kecil. Tapi kalau α terlalu kecil, persamaan Ricatti bisa tidak ada solusinya. Jadi ada batas nilai α yang bisa kita pakai.

Desain ini adalah desain regulator, alias membuat output sistem menjadi nol. Kalau ingin menggunakan untuk tracking, tinggal mengubah state space biar outputnya adalah tracking error.

Tanpa basa-basi, mari kita lihat contohnya:

Contoh

Misalkan ada suatu sistem antena. Antena ini harus mengarah ke satelit walaupun ada gangguan-gangguan seperti angin atau binatang nemplok di antena. Sistemnya dimodelkan seperti ini:

y di sini adalah error tracking antena terhadap posisi satelit. Syarat ke-robust-an sistem yang diminta adalah:

  • error tracking lebih kecil dari 0.1 rad (y < 0.1) walaupun ada gangguan sebesar 2 Nm (w < 2). Berarti gain dari gangguan w ke output y maksimum ||Gwy||∞ = 0.1 / 2 = 0.05.
  • Besar control input tidak boleh melebihi 10 Nm (u < 10). Berarti gain dari gangguan w ke control input u maksimumnya ||Gwu||∞ = 10/2 = 5.

Pertama kita buat agar state space-nya berbentuk seperti ini:

Dalam bentuk ini, u1, w1, dan y bernilai maksimum 1 karena masing-masing nilai maksimumnya sudah dimasukkan ke dalam matrix-matrixnya. Perhatikan juga bahwa:

  • D’ C = 0
  • D’ DI

Jadi persamaannya sudah sesuai untuk menggunakan metode ini. Dengan alpha = α = 1, solusi persamaan Ricatti dari MatLab menghasilkan:

>> P = are(A, Bu*Bu – 1/alpha^2*Bw*Bw’, C’*C)
P =
14.3236    1.0206
1.0206       0.1358

Jadi, control lawnya:

K = Bu’ P = [10.2    1.36]

u1 = -[10.2    1.36] x

Dalam state space aslinya, control lawnya menjadi:

u = 10u1

u = -[102    13.6] x

Kita lihat hasil simulasi dengan controller ini:

Gain dari gangguan w ke output y


Gain dari gangguan w ke control input u


Gain maksimum dari w ke y -40 dB = 0.01, lebih kecil daripada spesifikasi desain yakni 0.05. Gain maksimum dari w ke u juga 1.68 dB = 1.26, lebih kecil daripada spesifikasi. Jadi sistem ini bisa menolak gangguan sesuai spesifikasi. Simulasi dengan gangguan sinyal random bisa dilihat seperti ini:

Bisa dilihat output y(t) tidak pernah melebihi 0.02 rad walaupun ada gangguan w(t) sebesar 2 Nm. Control input u(t) juga tidak pernah melebihi 2 Nm. Kalau masih bingung cara desain sistem kendalinya, mungkin bisa lebih mengerti dengan simulasinya di sini.

Referensi:

Burl, Jeffrey B. 1999. Linear Optimal Control: H2 and H∞ Methods. Menlo Park CA: Addison Wesley Longman.

About Junot D. Ojong

Author is a control systems engineer at a private company in Jakarta.
This entry was posted in Ah, teori! and tagged , , , , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

3 Responses to H∞ Full State Feedback Control

  1. Pingback: Robust Control: H∞ Estimation | Akirajunto's Blog

  2. Pingback: H∞ Estimation | Akirajunto's Blog

  3. Pingback: H∞ Output Feedback Control | Akirajunto's Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s