H∞ Estimation


Estimasi dengan H∞ berguna untuk mendesain estimator atau observer ketika ada gangguan pada plant dan noise pada sensor. Mirip dengan H∞ state feedback control, estimasi ini dibuat dengan tujuan meredam gain terbesar noise pada plant. Jadi estimasinya akan mirip dengan output sistem yang sebenarnya, tanpa noise. 

Dengan diagram blok, estimasi H∞ adalah seperti ini:

State space sistemnya adalah:

dx/dt = Ax(t) + Bu u(t) + Bw w(t)

m(t) = Cm x(t) + Dmw w(t)

y(t) = Cy x(t)

m(t) adalah output sensor, y(t) adalah output plant yang sebenarnya (yang ingin diestimasi). Bisa dilihat bahwa output sensor m(t) memiliki noise. Kita harus mengestimasi output y(t) dengan pengukuran yang ada noise-nya ini.

Objektif dari estimator H∞ adalah mengestimasi output sistem y(t) dengan meminimisasi gain terbesar antara gangguan w(t) dan error estimasi e(t) = y(t) – ŷ(t):

Kita ga perlu menurunkan estimatornya dari rumus di atas ini (bisa keburu keriting kepala ini). Dengan syarat pada state space sistem:

  • DmwBw’ = 0
  • DmwDmw’ = I

estimator H∞ nya adalah:

L adalah estimator gain yang bisa dicari dengan:

L = QCm’

Q adalah solusi persamaan Ricatti (lagi-lagi Ricatti…):

QA’ + AQQ(Cm’Cm – 1/α²Cy’Cy) + BwBw‘ = 0

Nilai Q di sini harus positif. α adalah nilai batas dari objektif kita:

||Gwe||∞ < α

Jadi semakin kecil α semakin bagus estimator kita meredam gangguan. Tetapi, α yang terlalu kecil bisa membuat persamaan Ricatti tersebut tidak punya solusi. Jadi ada batas α minimum yang bisa kita pilih (ohya, nilai α ini dapatnya dari coba-coba). Sekarang mari kita lihat contohnya:

Contoh:

Misalkan ada sebuah radar. Radar ini harus tetap mengarah ke pesawat sasarannya, mau ke mana pun si pesawat ini terbang. Artinya, si pesawat ini jadi input radar. Lalu pembacaan/pengukuran radar memiliki noise. State space sistemnya adalah seperti ini:

r(t) adalah jarak pesawat ke radar. Output radar yang ingin kita estimasi adalah kedua states: jarak dan kecepatan pesawat. Kita hanya bisa mengukur jarak pesawat m(t) dan sinyal ini memiliki noise v(t). w(t) adalah input radar yang berasal dari gerakan si pesawat, jadi kita tidak tahu sinyal w(t) akan seperti apa.

Misalkan kita tahu nilai maksimum w(t) dan v(t): |w(t)| ≤ 4 dan |v(t)| ≤ 20. State space-nya kita ubah ke bentuk yang sesuai (w(t) dan v(t) digabung ke dalam satu vector dan normalisasi input) dahulu:

Kemudian, output sistem kita normalisasi:

Dengan α = 22.5, gain estimator L1 nya adalah:

>> alpha = 22.5;
>> Q = are([0 1; 0 0]’, [1/20 0]’*[1/20 0] – 1/alpha^2*eye(2)’*eye(2), [0 1]*[0 1]’);
>> L1 = Q*[1/20 0]’
L1 =
56.6497
13.3290
Jadi, estimator H∞ nya adalah:

Dalam input output yang asli (tidak ternormalisasi), estimatornya adalah:

dengan L = 1/20*L1

Disimulasikan, estimatornya akan menghasilkan output seperti ini:

Referensi:

Burl, Jeffrey B. 1999. Linear Optimal Control: H2 and H∞ Methods. Menlo Park CA: Addison Wesley Longman.

About Junot D. Ojong

Author is a control systems engineer at a private company in Jakarta.
This entry was posted in Ah, teori! and tagged , , , , , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to H∞ Estimation

  1. Pingback: Apa itu Kalman Filter? | Akirajunto's Blog

  2. Pingback: H∞ Output Feedback Control | Akirajunto's Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s