H∞ Output Feedback Control


Kalau Kalman Filter + LQR = LQG, bagaimana dengan H∞ State Feedback + H∞ Estimator? Tentu jadinya ya ini: H∞ Output Feedback Control. Intinya, kita ingin menggunakan H∞ State Feedback control, tetapi tidak semua state-nya bisa kita akses. Jadi state-nya kita estimasi dengan H∞ estimator lalu hasil estimasinya digunakan untuk feedback control. Walaupun mirip dengan skema LQG yang gabungan kalman filter dan LQR, H∞ output feedback tidak bisa didesain terpisah (state feedback sendiri, estimator sendiri). Desainnya harus dilakukan sekaligus, seperti ini:

Kita definisikan dulu bentuk plant yang kita pakai:

dengan syarat:

  • Dmw Bw’ = 0
  • Dmw Dmw’ = I
  • Dyu’ Cy = 0
  • Dyu’ Dyu = I

Definisi formal dari objektif controllernya adalah:

Simsalabim, controllernya adalah:

P dan Q adalah solusi dari persamaan Ricatti:

Ada hal yang harus kita perhatikan/cek setelah menyelesaikan persamaan ricatti ini:

Pertama, kedua matrix ini harus stabil:

 

 

Kedua, spectral radius dari PQ harus lebih kecil daripada  α²

ρ(PQ) < α²

Contoh

Kita gunakan contoh antena yang mengarah ke satelit lagi. Bagi yang belum pernah baca contoh ini di post yang sebelumnya, kita ingin mengendalikan antena agar tetap mengarah ke satelit walaupun ada gangguan dari luar w(t) seperti angin. Yang bisa diukur m(t) hanyalah θ(t) = angle error = simpangan arah antena dari satelit.

w1(t) dan v(t) adalah gangguan yang ternormalisasi (|w(t)| ≤ 1). Dengan Wb = 70, = 13, dan α = 90, hasil simulasinya seperti ini ketika sistem diberi gangguan w(t) = 70 (konstan) dan v(t) random:

Hasil simulasi menunjukkan controller bisa menjaga simpangan sudut maksimum 5 derajat dengan adanya gangguan angin konstan sebesar 70 Nm. Simpangan ini bisa dikurangi dengan memasukkan integral control ke dalam sistem.

Referensi:

Burl, Jeffrey B. 1999. Linear Optimal Control: H2 and H∞ Methods. Menlo Park CA: Addison Wesley Longman.

 

About Junot D. Ojong

Author is a control systems engineer at a private company in Jakarta.
This entry was posted in Ah, teori! and tagged , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s