Kalman Filter + LQR = Linear Quadratic Gaussian (LQG)


Satu lagi metode teknik kendali yang terdengar “canggih” adalah LQG alias Linear Quadratic Gaussian. Istilahnya keren ya pakai Gaussian, bikin orang berpikir, “Wow, apa ini pakai statistik? distribusi Gaussian?” Ternyata eh ternyata… LQG itu hanya controller LQR dengan Kalman Filter sebagai observer/estimator (it’s that simple). Mari kita lihat seperti apa itu LQG dengan contohnya. 

Sesuai diagram di atas, LQG adalah gabungan antara Kalman Filter dan LQR. Plant mengeluarkan hasil pengukuran m(t) yang dikotori oleh noise v(t). Kalman filter kemudian akan menghasilkan estimasi state x(t) dari sinyal m(t). Estimasi state ini kemudian digunakan sebagai feedback dengan LQR (gain -K). LQR harus meregulasi output plant meskipun ada gangguan pada plant yakni w(t).

Contoh

Ada sebuah antena yang harus selalu mengarah ke satelit. Antena ini mengalami gangguan torque dari angin w(t). Ada dua state: angle error (simpangan antena terhadap posisi satelit), dan angle error rate. Pengukuran m(t) hanya menghasilkan angle error.

Controller harus meregulasi output y(t), yakni angle error. Diketahui spectral density gangguan dan noise sebesar Sw = 5000 (Nm)²/Hz dan Sv = 1 deg²/Hz.

Dengan parameter LQR  r = 1 dan q = 18000, feedback gain K nya adalah (cara kalkulasi LQR bisa dilihat di sini):

>> q = 18000; r = 1;
P = are(A, Bu/r*Bu’, C’*q*C);
>> K = 1/r*Bu’*P
K =
134.1641  427.5682

Kalman gain-nya adalah (penjelasan kalman filter bisa dilihat di sini):

>> Q = are(A’, Cm’/Sv*Cm, Bw*Sw*Bw’);
>> L = Q*Cm’/Sv
L =
0.2891
0.0418

Hasil simulasinya menjadi seperti ini:

Simulasi dilakukan dengan gangguan w(t) berupa sinyal random sebesar ± 70 Nm dan noise |v(t)| ≤ 1 deg. Terlihat controller bisa meregulasi output dengan simpangan maksimum 0.1 derajat.

Referensi:

Burl, Jeffrey B. 1999. Linear Optimal Control: H2 and H∞ Methods. Menlo Park CA: Addison Wesley Longman.

 

About Junot D. Ojong

Author is a control systems engineer at a private company in Jakarta.
This entry was posted in Ah, teori! and tagged , , , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

11 Responses to Kalman Filter + LQR = Linear Quadratic Gaussian (LQG)

  1. Pingback: H∞ Output Feedback Control | Akirajunto's Blog

  2. yudha says:

    saya mau tanya kalau …mengenai LQR
    kalau saya punya persamaan van der pol…
    gimana cara membuat
    1. Construct the state space
    2. Get the gain matrix
    3. [Ad,Bd,Cd,Dd]= C2DM(A,Bc,C,Dc,Ts,’tustin’);
    4. [d,x]=dlsim(Ad,Bd(:,2),Cd,Dd(:,2),u)
    makasih sebelumnya
    yudha

  3. Wah ini kayaknya saya disuruh buat PR kamu ya.

    Persamaan van der pol itu bisa diperoleh dari googling atau matlab:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator (agak susah menulis persamaannya di sini).

    Persamaan van der pol itu adalah sebuah sistem nonlinear, jadi sepertinya di no 2 kamu diminta untuk melinearisasi sistem van der pol. Sehingga kamu mendapatkan state space matrices A, Bc, C, Dc.

    Di no 3 itu kamu mengubah sistem linear van der pol ke dalam domain diskrit, dengan sample time Ts dan metode pendiskritan bilinear transformation.

    No 4 ya tinggal dilakukan (simulasi di matlab).

  4. yudha says:

    bukan PR mas…aku lagi belajar aja…..nah cara melinearisai kan sistem tersebut bagaimana iya

  5. Mey says:

    punya file bukunya Burl, Jeffrey B. 1999. Linear Optimal Control: H2 and H∞ Methods. Menlo Park CA: Addison Wesley Longman. ???

  6. Dara says:

    saya bingung lihat blok diagramnya. bagaimana pada saat diterapkan ke plant. apa langsung buat blok seperti diatas atau kita buat rancangann lqr dan kalman filternya nya juga? terima kasih sebelumnya mas/bapak.

    • Ketika diterapkan di plant, yang perlu dibuat di controller adalah kalman filter dan LQR-nya. Kesulitannya mungkin banyak di Kalman Filter, karena harus melakukan pemodelan plant, Sedangkan LQR bisa di-approach dengan PID.

      • Dara says:

        Jika, LQR dikombinasikan dengan pengendali lain. kira-kira pengendali apa yang cocok pak? saya sedang mengajukan Tugas Akhir sekarang, mohon bantuannya pak. terima kasih

  7. Waduh saya kurang bisa menjawab ini nih. Kebanyakan kalau lihat teman-teman dulu pada pakai Fuzzy Logic dan Neural Network sih.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s